推薦《線性代數應該這樣學》(第三版)

——謹以此文紀念哈爾莫斯（Halmos，1916-2006）誕辰100周年

作者：林開亮

定價:￥49.00，人民郵電出版社，2016年

作者謝爾登·阿克斯勒（Sheldon Axler）和他的貓，取自其個人主頁 http://www.axler.net/

在中國，線性代數一般等同于矩陣論，這主要受華羅庚先生的影響，他的矩陣功底爐火純青，因此他的學生曾肯成曾經這樣說：“龍生龍，鳳生鳳，華羅庚的學生會打洞。”所謂“打洞”，就是將矩陣用相似變換化成若當（Jordan）標準型（里頭有很多的元素為0，即“洞”）。據華羅庚的另一得意弟子陸啟鏗院士講，當初邀請華羅庚訪問美國普林斯頓高等研究所的外爾（H. Weyl）教授曾這樣評價：“華羅庚玩矩陣就像玩數字一樣得心應手。”大概是陸啟鏗先生的話被人聽岔了，說這話的外爾教授后來竟然被訛傳為韋伊（A. Weil）。稍微了解韋伊的人都知道，他不可能說這話。為什么呢？因為韋伊是法國布爾巴基學派的主力，他跟謝瓦萊（C. Chevalley）都致力于消除代數中的行列式、結式等計算性的概念，而華羅庚是以矩陣計算見長，絕非韋伊所欣賞的風格。這里有羅塔(Gian-Carlo Rota)教授提供的證詞：

在這方面，韋伊和謝瓦萊的先驅就是羅塔這里所提到的阿廷（E. Artin），正是根據他跟諾特（E. Noether）的講義所寫的《近世代數》（作者范德瓦爾登）刺激了布爾巴基學派的誕生。希爾伯特（Hilbert）、外爾、阿廷和諾特是近世代數的先驅，近世代數的思想一度在德國盛行。特別的，馮·諾依曼（von Neumann）將這一思想應用到無限維空間的泛函分析中去（受量子力學的刺激），這導致了線性代數的現代化。這方面的第一本書就是馮·諾依曼的助手哈爾莫斯（P.R. Halmos）根據他在普林斯頓的講義寫成的《有限維向量空間》（Finite-Dimensional Vector Spaces）。該書1942年出版，以后多次再版，現在已成經典（期待“圖靈”引進中譯本，這是我心目中的線性代數圣經）。

眼下這本《線性代數應該這樣學》（Linear Algebra Done Right 第三版），可以說，基本上是按照《有限維向量空間》的精神寫的一本新書。這是毫不奇怪的，作者Sheldon Axler 正是哈爾莫斯的徒孫，中國的鏈接是Donald Sarason。Axler寫作這本書可以追溯到他在1995年發表在《美國數學月刊》上的一篇闡述性文章“Down with determinants!”，該文次年獲得了美國數學協會頒發的Lester R. Ford 獎。

標題取名為“Down with determinants! ”，就是說，要在線性代數的教學中弱化行列式的作用。也許在中國的讀者看來，有點不可思議，在通行的線性代數教科書中，行列式通常放在一開頭講的，如果弱化了，后面還怎么講？事實上，這是完全可以做到的，《線性代數應該這樣學》就完全做到了這一點。在全書中，跡和行列式是最后一章，而之前講完了線性代數所有其它內容，并沒有用到這兩個概念！

Axler之所以要弱化行列式，也許有兩個動機。第一，國外的學生可能要笨一點，怕計算，他希望把這一困難留在最后處理而不至于讓學生一開始就被嚇趴下；第二，可能是更主要的，他想突出線性代數的本質方面是概念而非計算。正是第二個動機，促使我在這里向讀者推薦這本書。

如前所說，線性代數的教學分兩派：一派注重代數計算，以華羅庚先生（最終可溯源到美國的代數與數論學家Dickson，中間的鏈接是楊武之教授，也就是楊振寧的父親）為代表；一派注重幾何直觀，以哈爾莫斯（最終追溯到Noether和Artin，中間的鏈接是馮·諾依曼）為代表。雖然我經受的課堂訓練（用北大的經典教材《高等代數》）是華派的，然而只是在我后來用哈爾莫斯的《有限維向量空間》重新學了一遍線性代數以后，我才敢說我對線性代數有了一點底。我希望我說這話時，你不要認為我是在吹牛，我甚至希望這話能得到專業人士的認可，因為我在博士論文中的部分工作，就是用阿廷、馮·諾依曼、哈爾莫斯那一派的幾何觀念完善了華羅庚先生本人1947年的一項矩陣工作。可以說我是華羅庚先生和哈爾莫斯教授兩派結合的產物。

代數計算將線性代數機械化了（我有一次在打乒乓球時感覺每一次回球就像在做一次初等變換），同時也變得有點無聊。要想讓它生動起來，除了介紹一些精彩應用的例子外, 一個可行的辦法是強調幾何的語言。幾何的語言, 自然是相對于代數的語言而說的。簡單地講, 就是用線性變換代替矩陣, 用抽象向量代替列向量。幾何語言的優點是簡潔明快, 例如“作用”這個詞給人的感覺就是如此。代數語言的好處是具體清晰, 兩個矩陣“相乘”在我們頭腦中的圖象是一系列具體運算的運作。通常的教科書都過分強調了代數的語言, 這同時也充分暴露了它的諸多缺點。最大的缺點在于容易讓人迷失方向(說來奇怪, 明明有基幫助定位, 卻不知道真正的位置), 不清楚自己究竟在作什么。這是因為，在很多問題中坐標的選取并不重要,我們所需要的往往只是一些基本的運算規律, 例如分配律、結合律等。這時抽象的幾何語言就十分適用了, 例如在內積空間的理論中, 我們往往采用幾何語言。我們正是靠這種幾何觀點來指引具體的代數運算的, 例如所謂Gram-Schmidt正交化, 無非就是將第二個向量沿第一個向量作垂線, 一旦指出這一點, Gram-Schmidt正交化的公式就很容易理解了。更近一步，理解Cauchy-Schwarz不等式就是水到渠成的了：它所對應的無非是這樣一個熟知的幾何事實——直角三角形的直角邊長不超過斜邊長。

我要指出，我這里并非說代數計算不好，我想強調的是，要盡可能在在幾何直觀的指引下做代數計算。我覺得借用阿廷在其名著《幾何化的代數》（Geometric Algebra）一書中的一句話來評論Axler的書再好不過了：

我的經驗是，一個用矩陣進行的證明，如果你拋開矩陣的話往往可以使這個證明縮短一半。有時，這一點是辦不到的，你需要計算一個行列式。

我將Axler的這本書鄭重推薦給所有想重新從幾何的觀點看待線性代數的朋友，所有想從零開始學習線性代數的朋友，該書繼承和發揚了哈爾莫斯《有限維向量空間》的幾何化特色，以幾何勝代數，以概念勝計算！它會告訴你線性代數不是矩陣論，或者更恰當地說，從幾何的觀點看，線性代數和矩陣論原來是很簡單的！你不再需要-矩陣，不再需要分塊矩陣，更不必擔心復雜的行列式計算會擋住你前行的道路！

根據我的經驗，要使線性代數在你心中扎根，你需要讀哈爾莫斯。如果你還不習慣讀外文教材，那么Axler的《線性代數應該這樣學》中譯本是目前的首選。

本書的前兩版曾在美國近300所院校作為教材使用，作者因此收到了成千上萬條反饋意見，可以想見，第三版將何等卓越。當然，作為一個吹毛求疵的讀者，作為讀過哈莫爾斯之圣經的人，我確實是對作者以及譯者有少許建議。這些話我會先告訴他們，之后如果有必要，再跟有興趣的讀者朋友一起分享。預祝你們閱讀愉快！

溫馨提示1：雖然這本書中穿插著一些幽默的圖片與言論，但它更適合比較嚴肅的讀者，特別是數學系的學生。讀完這本書，再接觸抽象代數，應該會比較容易。

溫馨提示2：《線性代數應該這樣學》原書在2016年出版了一個刪節版，可以在作者的個人主頁免費下載：

http://linear.axler.net/LinearAbridged.pdf

* 本文作者林開亮，先后就讀于天津大學和首都師范大學數學專業，現任教于西北農林科技大學。熱衷數學科普的翻譯與寫作，曾主持翻譯《當代大數學家畫傳》和《數學與人類思維》，參與翻譯《數學家講解小學數學》。發表的部分作品可見http://math.sjtu.edu.cn/conference/Bannai/2016/talk.php?20160612A

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